截距式-李尚志：从数学中享受快乐

作者 |李尚志

来源 | 《数学通报》2004年第12期，好玩的数学获作者授权转载，在此感谢。

快乐足球与快乐数学

我们的学生，从小学到中学再到大学，都要学数学。

不妨去问一个学生：“你为什么要学数学？”他会怎样回答？

假如他实话实说，答案很有可能是这样的简单：“学校里要考数学，所以我只好学数学。”他们的家长会告诫：“小学生学不好数学就考不上中学，中学生学不好数学就考不上大学，那以后就找不到好的工作。”

假如你再问他：“学数学快乐吗？”他会怎样回答？

如果是为了应付考试而被迫学数学，他能快乐吗？学习有困难的学生觉得不快乐。即使是那些数学尖子，比如参加数学竞赛得了奖、进了冬令营的姣姣者，也有很多人觉得学数学不快乐，甚至咬牙切齿发誓一辈子不再学数学。一个“数学尖子”，假如是在家长和老师的逼迫下，为了获得保送上大学的资格而接受痛苦的训练，终于如愿以偿进了大学的门，好不容易从数学的魔掌下解放出来，他仇恨数学、不愿意再学数学，难道不是很自然的吗?

为了应付考试而学数学，不可能快乐！也不可能学好数学。

假如这个问答再继续下去：

“学数学不快乐, 干什么快乐呢？”

“玩！”

“玩什么？”

“玩足球。”

“那些以玩足球为职业的人快乐吗？比如，被媒体吹捧为‘超白金’的足球队员们, 他们快乐吗？”

“不快乐。他们玩的是‘出线足球’。输了球，出不了线，队员不能发财，官员不能升官，当然不快乐。”

出线足球不快乐。应试数学不快乐。

米卢提倡“快乐足球”。我理解，他说的“快乐足球”就是要热爱足球本身，从足球本身享受快乐。什么时候不是为了利益玩足球，而是为足球本身的魅力所倾倒了， 什么时候足球也就能出线了。

数学也是这样。如果一个学生体会到了数学的魅力，从数学本身享受到了快乐，而不是为了考试学数学，他的数学就能学好了，考试当然也就能考好了。

学生学数学不快乐，不能怪他们，只能从我们的数学教育找原因。数学本来天生丽质、美丽动人，可是我们的教育却将她涂脂抹粉变成了一个丑八怪，一个令人恐怖的恶魔，怎么能怪学生不喜欢数学呢？

应当将数学这个美人脸上的污垢洗干净，还她的本来面目。

这次湖南教育出版社邀请张景中院士与我一起编写高中数学新课程标准实验教材，使我们有机会实现这一愿望：让学生从数学中享受快乐。这也就是我们编写这套教材的首要的指导思想。如果一套数学教材能使学生喜欢数学，从数学中享受快乐。这就是很大的成功。

我们为了达到这个目标作了很大努力。是否成功，要靠实践来检验。

数学的美

我们的数学教材，希望能让学生喜欢数学，从数学中享受快乐。学生对数学有兴趣了, 甚至被数学的魅力迷住了, 他就会自觉地努力去学习数学。学习过程中当然会经历艰苦, 甚至经历痛苦, 但他再苦再累也心甘情愿, 并且在痛苦中享受快乐。这样学习, 才能真正领会数学的本质, 真正学好数学, 学到真正的数学。

靠什么去引起学生对数学的兴趣？不是靠数学以外的东西，而是靠数学自身的美，自身的魅力。

我们不可能在这里全面论述数学的美。就本套教材而言，我们着力从以下两方面去展示数学的美。

1. 数学的自然美

我们提倡真善美。作为一门科学，数学本身无所谓善恶，善的人可以用它为善，恶的人可以用它作恶。但作为一门科学，数学的最大特点就是它的真。如果不真, 就不称其为科学。同时，数学也是美，并且真本身就包含着美。

数学来源于现实。学生学习的所有的数学内容，包括概念、思想、方法，都来源于现实，它的美是从现实世界与生俱来的。但如果我们的数学教育、数学教材将这些数学内容与现实割裂开来，只剩下一堆为应付考试而死记硬背的条文，那怎么能让学生喜欢呢？

比如，你去问学生为什么要学习集合、函数、三角函数、几何，学生怎么回答？也许他的回答就是：“书上有这些内容, 你要考这些内容，所以我只好学。”

我们的教材，努力在一定程度上让学生体会到这些数学知识是怎样从现实世界中来的——它们都是为了解决现实世界中的某一方面的问题而建立的数学模型。为此，我们在引入这些知识的时候不是从定义出发，尽量从现实世界出发，从问题出发。不是将这些知识“教”给学生，而是与学生一起尝试在解决问题的过程中建立模型，包括引入适当的概念和定义，“发明”适当的方法。因此，在很多章的开始，都设立了数学建模栏目，这不是贴标签走形式，而是提供给学生一个从现实出发走向数学的起点。在学会这些知识的过程中以及学习之后，还要不断地利用这些知识解决更多的现实问题，这又是每章设置的问题探索、数学实验等栏目的目的。

当学生亲眼看见数学知识怎样从他们身边生动活泼的现实中诞生并大显神通，他们自然就会体会到数学的美，引起对数学的兴趣和以至于热爱，愿意终生与数学交朋友。

2. 数学的内在统一美

数学有很多分支，很多方向，很多内容。但这些内容不是互不相干的堆积起来的，而是互相联系成一个有机的整体。好比一个人是由很多器官组成的，有头有身体有手有脚，但如果将头、身体、手、脚砍下来，人就死了，失去了灵魂，这些器官也就都是一堆肉和骨头而不是人体的一部分了。数学的各部分之间的相互联系也是数学的灵魂之所在，数学的美的一个重要方面。学生在学习的时候固然需要分别学习各部分知识，但是如果将它们割裂成互不联系的众多的“知识点”去分别死记硬背，而且以“知识点”越多越光荣，那不但大大加重学生负担，而且丢掉了数学的灵魂，学到的根本不是真正的数学。

我们的教材努力体现各个部分之间的有机联系，体现数学的统一美。而且，通过这种联系和统一，使得整个数学内容显得线条清晰，结构简洁，体现了一种简洁的美，让学生有可能体会到华罗庚所提倡的学习数学“由厚而薄”的绝妙境界。

数学研究的两大主要对象是形与数，两大主要部分是几何与代数。我们努力将形与数的统一与联系贯穿于所有的章节。函数与图象是数与形的统一，解析几何中的方程与图象当然也是数与形的统一。而且，我们还用向量这个工具作为形与数的桥梁，将数与形更加紧密地联系起来。不但在讲了向量之后尽量发挥向量的威力来处理三角恒等变换、解析几何的问题，而且在向量这部分内容之前引入三角函数的时候，通过解决现实世界中方向和距离与直角坐标的相互转化来引入三角函数，也已经暗中包含了向量的思想，埋下了伏笔。

以下我们分别就各具体章节简要介绍我们怎样从上述两方面展示数学的美。

为了让学生更能体会到数学的美，我们在教材的语言方面也尽量做了努力，努力不板着面孔讲数学。恰如其分地应用生动活泼、年轻人喜闻乐见的口语讲数学，并引导学生体会怎样将生动而不太严格的口语转化为严谨的数学语言。并且还在每章前面用一首诗来概述本章的主要精神，为本章内容的展开营造一种气氛，也让学生在一种令人心旷神怡的人文气氛中享受快乐。语言是用来交流思想、传递信息的，自然语言、文学语言都是人们喜闻乐见的好形式。既然我们的数学是讲给人听的，特别是讲给年轻人的，为什么不能用年轻人喜欢的语言而非要用他们讨厌的语言来讲呢？我们讲数学的老师也是人，写教材的作者也是人，我们自己在听别人讲话的时候都喜欢听生动的话而不喜欢听枯燥的官腔，那我们为什么又要将我们讨厌的语言强加给学生，强加给这些最富有青春活力的年轻人呢？

因此，我们在下面展示数学的美的时候，也从每章开始的诗讲起。

数学的自然美

我们这套教材的各章是这样开始的：

集合与函数

日落月出花果香，物换星移看沧桑。

因果变化多联系，安得良策破迷茫。

日出月落，花果飘香，物换星移，沧桑变化，多美的意境！这些都是现实世界中变化的事物，而这些变化都包含了因果关系。函数就是描述现实世界因果关系的一种数学模型，是破除迷茫的良策之一，它能不美吗？

指数函数、对数函数与幂函数

晨雾茫茫碍交通，蘑菇核云蔽长空。

化石岁月巧推算，文海索句快如风。

光线在晨雾中按指数函数快速衰减，所以“晨雾茫茫碍交通”。铀核裂变时放出的中子数和能量都按指数函数快速增长，引起核爆炸。由化石的放射性碳含量与化石年龄之间的对数函数关系可以推算出化石的年龄。将海量数据经过合理编排，可以使搜索资料所需的工作量是数据量的对数函数，当数据大量增长时工作量增长很少，因此能做到“文海索句快如风”。指数、对数函数与现实生活中的这些现象密切相关，是我们身边活生生的数学。

立体几何

锥顶柱身立海天，高低大小也浑然。

平行垂直皆风景，有角有棱足壮观。

本教材每章一开始都有一幅章头图。本章的章头图是一幅海边的风景画，建筑物与碧海蓝天交织成美丽的风景。

这首诗描写的就是对这幅画的“看图写诗”。现实的建筑物呈现出各种形状、大小不同的几何体，有锥体，有柱体。几何体中又进一步蕴含了立体几何中的直线、平面等基本图形，呈现出平行、垂直等基本的位置关系。立体几何就是这样自然地从现实世界中抽象出来的。在叙述数学的同时，这首诗也包含了一些哲理：事物是丰富多彩的，有大有小，有平行有垂直，并非只有一种形态而排斥另一种形态。大自然中处处有风景, 处处有美, 就看你能否体会得到。

解三角形

近测高塔远看山，量天度海只等闲。

古有九章勾股法，今看三角正余弦。

测塔看山，量天度海，好大的气派！可以想象一个顶天立地的巨人，拿着无比巨大的尺子和量角器在那里量天度海。我们不必长成那样的巨人。我们只要利用解三解形的知识就能做到量天度海。数学知识可以使我们成为巨人。

数列

玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。

坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。

这里讲的都是历史上有关数列的著名例子。“玉兔子孙”讲裴波拉契的兔子数列。“棋盘麦塔”讲古印度国际象棋发明者向国王要奖赏的故事：他所要奖赏的麦子总数是2的0到63次幂所组成的等比数列的和，这样多的麦子堆成的“麦塔”可以从地球一直堆到太阳上去，所以说“棋盘麦塔上摩天”一点都不夸张！堆垛和连环都是中国古代数列的著名例子。这些历史故事都很有趣，当然数列也就很有趣。

不等式

天不均匀地不平，风云变幻大江东。

入水光路改方向，露珠圆圆看晶莹。

这首诗的气派也很大。天地之间，到处是不相等的例子。天不均匀，地不平坦，这才是常态。风云变幻，大江东流，万物都在变化，变化前后就不相等。这里不但举出不等式的具体实例，而且指出不相等才是普遍的、绝对的，而相等反而是特殊的、相对的、近似的。后两句举的是极大极小值的著名例子， “入水光路改方向”说的是光的折射，光在入水后改变方向，发生折射，所花的时候反而最短。“露珠圆圆”，球形的露珠在保持体积不变的情况下表面积最小。极小值小于其他值，这也是不等式问题。

数学的统一美

三角函数

东升西落照苍穹，影短影长角不同。

昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。

这里依然是说的自然现象。太阳每天东升西落，在苍穹中运转。运转过程中光线照射地面的角度变化，地面物体的影子的长短也就随之变化。同一物体的影子长度与光线角度之间的关系由三角函数 (正切函数) 描述。除此之外，太阳东升西落，昼夜循环，潮涨潮落，冬去春来 (四季更替)，草枯草绿，都是自然界重要的周期现象，三角函数是描述周期现象的重要数学模型。

图1

在这一章引入三角函数之前的“问题探索”中，我们从研究一个几何问题开始：

如图1所示，已经知道一个点 相对于坐标原点 的方向 (由 表示) 和距离，怎样求的坐标这个问题有强烈的实际背景：在现实生活中，方向和距离比较便于直接测量，而坐标不便于直接测量。但用坐标来进行计算比较方便，而用角度和距离就没有这么方便。这就引出了由计算的需要。而三角函数

就能解决这个问题。我们知道, 解三角形也离不开三角函数。而解三角形也是由一些便于直接测量的量去计算不便于直接测量的量。这既说明了三角函数来源于现实世界, 展示了它的自然美。也说明了三角函数作为一个代数工具与几何对象之间的密切联系, 展示了数学的内在统一美。

向量

方向距离一笔挥，茫茫大海系安危。

展开合并等闲算，勾股余弦未足奇。

向量一章的开始就是一个数学建模：一艘在海上航行的船遇到危险，需要派直升机救助。直升机怎样才能找到这艘船？这可不是纸上谈兵，而是性命攸关的事情，所以说是“茫茫大海系安危”。如图2所示，要找到船，需要知道从已知点 (码头) 到船的方向和距离，也就是知道向量。从这个实例自然引出了向量的概念：具有方向和距离两要素。 这条有向线段“大笔一挥”，向量的方向和距离都表示出来了。

图2

还是在这个实例里，船从到再到，最后的位置向量。这就自然引入了向量的加法。而在本章第4节中，再次处理这个“茫茫大海系安危”问题，通过将位移向量分解成东西方向和南北方向位移的合成的方法引入了坐标，通过坐标计算给出了这个问题的一个完整解答。当然，这个问题还可以用解三角形的方法来求解。一个实际问题多次出现，引出一系列知识，就好比一本小说里一个主要人物引起一大堆故事那样，具有引人入胜的效果。

如果说通过“茫茫大海系安危”的实际问题引出向量概念是体现数学的自然美，那么“展开合并等闲算，勾股余弦不足奇”则体现数学的统一美。“展开合并等闲算”是说向量的运算可以与数的“展开合并”同样来运算。多项式的“展开合并”是初中学的内容，当然是“等闲算”。比如，

就是我们熟悉的乘法公式。这个公式对于向量是否成立？也就是说，当是向量时，

是否成立？许多教材在讲到向量的运算时都强调向量运算与数的运算的不同点，在证明向量等式 (2) 时都回避了数的相应等式 (1) ，而是利用向量的运算律一步一步重新证明等式 (2) 。我们则反其道而行之，强调向量运算与数的运算的共同点，先将数的等式 (1) 一步一步重新证明一遍：

将数分别换成向量，数的加法和乘法分别换成向量的加法与数量积时，上面的每一步推理中的所用的运算律仍然成立，因此推理的过程及其结果仍然成立，这就得到了向量等式 (2) 。这里为什么不肯对向量等式 (2) 直接进行证明，而要转弯抹角从数的等式 (1) 的证明得出来？这是不是多此一举？其实，这里强调的是，数的乘法公式 (1) 为什么成立？是因为加法交换律、乘法交换律、乘法对于加法的分配律成立。而不是因为是数。既然如此，将这两个数换成两个别的东西，比如换成两个向量，只要这些运算仍然成立，相应的乘法公式就仍然成立。这实际上暗中体现了近世代数的思想，将学生不知不觉地带到了一个更高的思想境界，为大学的学习埋下了伏笔。

图3

向量乘法公式 (2) 与数的乘法公式 (1) 虽然形式上相同，证明方法也相同，但所代表的意义却不同。比如，如图3所示，当向量不平行时，它们可以分别代表一个三角形的两边，而代表这个三角形的第三边。这样， 分别是三角形三条边长度的平方，而由数量积的定义知道。于是向量等式 (2) 代表的就是

这就是余弦定理。而当为直角时，这就是勾股定理

由一个熟知的乘法公式居然如此容易就得到了两个重要的几何定理。向量的威力何其大也！“展开合并等闲算，勾股余弦未足奇”。不是说勾股定理、余弦定理本身很平常，未足奇, 而是说得到它们的过程很容易，未足奇。这两个定理的重要性是不言而喻的。用向量来得到它们越容易，就说明向量的威力越不寻常，越神奇。如此貌不惊人的公式居然有如此不寻常的几何意义，代数与几何之间的联系如此神奇，这难道不是数学的内在统一美的一次光彩夺目的表演吗？

为什么从向量的“展开合并”中能得出如此重要的几何定理？这其实是因为“展开合并”所依据的运算律本身就暗藏了几何定理。正如我们在教材中指出的，向量加法的交换律暗藏了平行四边形的判定和性质定理，数与向量相乘的分配律以及向量数量积的交换律都暗藏了相似三角形的判定和性质定理。因此，利用向量的运算进行推理，实际上是在利用这些基本的几何定理推出更高级的几何定理。比如，可以逐字逐句将上述乘法公式的代数证明过程翻译成几何推理过程，得到的就是利用相似三角形证明勾股定理的几何证法。向量代数与几何的联系和统一，在这里表现得淋漓尽致。

三角恒等变换

三角莫愁公式多，几何妙笔画婀娜。

展开和角星空转，加减正弦明暗波。

这一章需要记忆的公式很多，这些公式看起来没有什么实际背景，也没有任何趣味可言。本章的主要内容是将这些公式变来变去得出新的三角恒等式。这是令人厌烦的。

然而，本套教材多次通过向量将三角公式与几何图形联系起来，向量的“妙笔”让令人厌烦的三角公式摇身一变为婀娜多姿的几何图形，起到了化腐朽为神奇的效果。比如：

如图4所示, 单位向量 绕 旋转角 到

将平面上的旋转归结为求和角 的正弦与余弦。这当然也可以用来描述宇宙万物的旋转, 这就是“展开和角星空转”。

如图5所示，由单位向量 与 的数量积立即得出余弦的差角公式

再通过计算上述单位向量的和

可以得出将和差 化为乘积

的公式中，图5中

这些都是“几何妙笔画婀娜”的生动实例。

正弦的和差化积与光的干涉密切相关 (参照第二册第5章数学实验)。光的干涉图案是明暗相间的条纹。这就是“加减正弦明暗波”的意思。

解析几何

代数几何熔一炉，乾坤变幻坐标书。

图形百态方程绘，曲线千姿计算求。

其余的诗基本上都涉及到现实世界与数学概念之间的关系，涉及到数学的自然美。只有这一首诗是专门讲数学的统一美，讲代数和几何的密切联系。大千世界，荡荡乾坤，都由点构成。点可以由坐标表示，点的变化也就是坐标的变化，因此可以用坐标的变化来描述乾坤的变幻。这就是“乾坤变幻坐标书”的意思，其中的“书”是动词, 表示“书写”，也就是描述。图形可以由方程来描述，曲线的几何形状可以通过代数计算的方法来求出。这些就是解析几何的基本思想方法。

图6

充分利用向量作为桥梁来沟通图形的几何性质和坐标的代数运算之间的转化, 这是本套教材在数学内容上最突出的特色。特别是在研究直线方程时将传统的以斜率为中心大胆改革为以法向量为中心，是本教材在数学内容上力度最大的改革。以法向量来描述直线的方向，似乎显得不如斜率自然。但是，我们不从直线到方程而是由二元一次方程 找出它的图象，如图6所示, 在图象上取定了一点 之后，

图象上任一点 满足的条件 就变为

即

后面一个等式可以解读为向量 与 的数量积等式 ,其几何意义就是 。

满足这个条件的所有的点组成过 且垂直于 的直线, 原来的二元一次方程 的一次项系数 就是直线法向量的坐标。

直线的方程有多种形式：点斜式, 斜截式, 两点式, 截距式, 一般式等。我们的教材只强调了一般式 , 只补充了一条需要记住的关键性的知识：一般式方程的一次项系数A, B组成法向量坐标。就这一招就可以横扫天下, 囊括直线方程的所有各种类型。不论遇到什么直线, 先找它的法向量 , 然后就可以立即由此写出直线方程的 , 再利用直线上一个点的坐标求出待定常数项 。如若不信, 请看：

如果直线平行于向量，那么 是法向量：因为 。如果直线过两点，那么它平行于向量，从而有法向量 。

如果直线有斜率，那么它平行于向量 ，从而有法向量 。

如果直线在 轴、 轴上的截距分别是 ，那么它过 ， 平行于 ，有法向量 。

看！是否一招打遍天下？是否简单易行？是否减轻了负担？

还不止这些。比如还有：

如果直线与某已知圆 相切于某已知点 ，则过这点的半径 就是法向量。

数学实验

数学实验，也是本套教材与众不同的特色之一。

数学实验，是生活中的数学，活的数学。是让学生借助于计算机等现代技术手段，自己动手做数学。

实验成功与否，完全由实践来检验。实验结果是图形，就要眼见为实，如果是声音，就要耳听为实。

以下是第四册第9章的一个实验：乐音的频率比。

物理课程中学过：声音由振动产生。声音的高低由振动的频率决定：声音越高，频率越高。

既然如此，你可曾想过：乐音的音阶 中的音一个比一个高, 它们的频率各是多少?

首先, 钢琴或者电子琴上任何一个键的音都可以作为1, 可见1的频率是不固定的, 不同的调有不同的1。

但是, 别的音与1的频率的比是固定的。比如高八度的 的频率就是1的2倍。从1到 ，总共经过12个琴键，也就是12个“半音”。假定每两个相邻的半音的频率比相同，则从1到 的各个琴键所发的声音的频率成等比数列，公比。适当给定1的频率，由等比数列的通项公式可以算出其余各音的频率。

在计算机上将这些音产生和播放出来，或者再将它们编成乐曲播放出来，听一听是否是你所期待的效果。

本教材安排的实验还有：在“电子琴为什么能模拟不同乐器的声音”中，利用正弦曲线迭加出不同形状的波形来说明合成不同音色的声音的原理；在“光的干涉”中，利用和差化积计算出各点的光的强度，模拟出光的干涉图象；在“凹面镜的反射”中根据光的反射定律画出反射光线图，研究凹面镜反射的特性;等等。

数学实验，将数学转化为活生生的形象或声音，从另一个方面展示了数学的自然美。

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