摘要：螺栓各齿承载分布严重不均，内外螺纹啮合的第一齿承载较大且齿根存在应力集中，易造成螺栓杆横断失效。本文通过对螺栓连接的受力变形分析，建立梁-弹簧模型，推导了理论模型的力学方程组，并基于此模型编程计算，求解得到螺栓连接件在使用过程中各齿承载的分布情况和齿根应力集中系数。最后进行有限元仿真，对比理论模型和有限元的结果，两者误差在工程可接受范围之内。上述研究表明，螺栓连接的组合梁-弹簧模型是合理有效的。
紧固件有“工业之米”之称，据统计，2019 年我国金属紧固件产量为 743.2 万吨。螺栓连接件是工程结构中最重要最常见的紧固件之一[1]。由于螺栓连接具有结构简单、节材节能、拆装方便、抗震性能好、连接强度高、耐疲劳等诸多优点[2]，所以使用量不断增加。随着我国工业水平的不断上升，各种机械设备也不断更新换代，变得体积更大，运转更快，功率更高，设计更加精密。螺栓连接在这些大型机械设备中有着不可替代的作用，特别是我国航空航天工程对螺栓的要求越来越高，螺栓的工作条件也越来越苛刻[3]。这就要求对螺栓连接有更加全面的认识和准确的评估，而理论研究将为提高螺栓连接的有效性提供有力的指导。
目前螺纹连接件的使用还存在一个重要问题，即螺栓连接件的疲劳破坏。在所有螺栓连接件的失效中，疲劳破坏占 90%以上，是螺栓最主要的失效形式，而螺栓连接的各齿承载分布不均是导致螺栓疲劳失效的主要因素[4]。大量研究表明，普通螺栓在轴向力的作用下，螺栓各齿的受力存在严重的不均匀性，如图 1 所示，载荷主要由前几个螺纹牙承担，第一个螺齿承载最大，约占总载荷的 1/3，前三个螺纹牙的承载量占总载荷的 2/3 左右[5-7]，最后几齿受力很小，同时，螺纹根部存在严重的应力集中[8]。
通过应变电测法、脆性涂层法和光弹性法等实验方法可以测量计算出各齿承载分布情况，但是螺纹结构复杂，实验过程较为繁琐且成本高，不适合一般工程应用分析[9]，所以有必要提出一种螺栓连接的简化模型，建立基于该模型的、工程适用的且具有良好准确性的分析工具。
1 梁-弹簧模型的建立
1.1 模型简化思路
螺纹连接各齿之间的接触面为空间螺旋曲面，结构形式复杂，受力变形情况也较为复杂，而且由于齿根部存在严重的应力集中现象。螺齿齿根较厚，长度较短，为典型的短粗梁，使用梁的变形理论单独对螺齿受力变形分析不够严谨。因此，特别在工程分析中，须对螺纹进行简化处理，简化模型如下：
螺栓的螺旋升角一般很小，通常在 1.5-3.5°之间，研究表明，螺旋升角对螺栓各齿承载分布的影响可以忽略[10]，所以本文假设螺纹连接是一个轴对称问题。然后，将整个螺纹连接件以中轴线为圆心等分成若干个角度为 θ 的扇形区域，则每个扇形部分的受力变形情况相同，只需对其中一个进行分析即可。
如图 2 所示，将上述扇形结构简化为组合梁-弹簧模型。首先，各模型梁之间的过渡连接材料简化为若干离散的弹簧，弹簧受压缩或者拉伸会产生弹性变形，其刚度由螺栓材料的弹性模量和过渡部分的几何尺寸决定。然后，过渡部分之余的螺栓，与螺纹牙共同组成一根梁，梁的厚度即为齿根厚度，梁的长度为螺栓的半径。梁可以沿着螺栓的受力方向，在弹簧变形许可条件内上下移动，但梁根部无法转动，这是由螺栓轴对称变形情况得出。螺栓承受的外载荷简化为作用于螺栓第一根模型梁上表面的均布力。螺栓齿和螺母齿相互啮合，相互约束。螺母与被连接件的接触面简化为固定约束，即螺母的第一根模型梁上表面固定。
这样处理的优势在于，梁的长度为螺栓半径，长度增加，厚度不变，脱离了短粗梁的局限性，更适用于梁变形理论，提高螺栓各齿承载分布计算的精度。同时过度部分的弹簧是离散的，通过每根弹簧的受力变形情况，可以估算齿根应力集中，同时，也降低了计算过程的复杂性，具体的计算过程如下。
为了分析和计算方便，给模型梁进行编号（如图 2），分别在螺栓和螺母梁上建立坐标系（如图 3）。
设模型梁的宽度为 b(x)，则：
设螺纹根部的高度为 h0，则模型梁的高度 h (x) 为：
式中 β 为牙型角，r 为螺栓小径的 1/2，R 为螺栓大径的 1/2。
同理可得螺母模型梁的宽和高。
弹簧模型的处理方法是整个模型的关键。根据螺栓连接件的实际受力变形情况，两个螺纹之间过渡部分的变形是连续的，并且越靠近齿根部分的受力变形越大，这将导致复杂分析，不适合一般性工程应用。所以本文将弹簧离散化处理，如图 4 所示，将整个过渡部分不均匀的分为 9 段，越靠近齿根处部分分段越密集，每段看作一个弹簧作用于该段中，弹簧的长度为齿根间距离 L，则弹簧刚度为：
式中，E 为弹性模量，i 为梁序号，j 为分段序号，Sij为各段弹簧对应扇形面积。
每根弹簧变形量的大小由相邻的上下两模型梁的相对位移决定。模型梁上各节点在 y 方向上的位移 Δ包含两部分变形：一部分是模型梁做垂直于螺栓中轴线的整体平动 δ，另一部分是模型梁受力后产生挠曲变形 ω。整体上弹簧弹力为：
1.2 模型受力分析
模型梁受力状态如图 5 所示（以梁 1 为例）：
（1）梁 1 为螺栓受力的第一齿，其上表面受到作用在螺栓上的均布外载荷 q；（2）模型梁的下表面受到过渡部分各弹簧的连接力，见式(3)与式(4)；
（3）螺纹面上的力为螺栓和螺母内外螺纹接触的相互作用力，由于螺栓和螺母模型在结构形式和受力特点上的相似性，可假设螺纹之间的接触载荷是一个相对于接触区中心点对称的分布载荷，因此可以简化为作用在接触区中点、垂直于接触面的集中力。
1.3 方程组的建立与求解
同样以梁 1 为例，首先由力平衡条件，可以建立梁在 y 方向上的力平衡方程组：
式中 S 为扇形总面积，F1j 为梁 1 的下表面第 j 根弹簧弹力，F1-2为梁 1 和梁 2 之间的相互作用力。
利用单位载荷法，得到梁上各节点的挠曲变形方程[11]：
最后由内外螺牙啮合的接触条件可以得到变形协调方程：
式中 δi 为梁 i 根部的位移，ωi,9 为梁 i 螺纹接触面中点的挠曲变形量。
需要说明的是，螺栓连接通常由前几个齿承载，啮合的其余几个齿几乎不承载，所以，本文只考虑 5个齿承载的情况。因此，如前所述，将弹簧分为 9 段，结合模型梁的平衡方程式(5)、挠曲方程式(6)、内外螺纹啮合的变形协调方程式(7)，对如图 2 所示模型，可以得到共 256 个方程；与之对应，共有 256 个未知数，方程数与未知数相同，可以得到唯一解，进一步通过编程计算求解上述方程组，可得到螺栓各齿承载分布结果。
由于弹簧分段的不均匀性，需要确定更合理的分段点，齿根部分的受力变形最剧烈，所以齿根分布越密集越能接近真实情况，但是段数一定，齿根越密集，其他部分分段就会越稀疏，也可能导致结果偏离真实情况。所以作者按照齿根分段更密集的原则，尝试不同的分段取点，分别计算结果，并确认数值结果的收敛性，从而得到较为合理的分段模式。最终确定分段方式从 r1 至 r8 对应值分别为 2r/9，4r/9，2r/3，7r/9，8r/9，9r/10，24r/25，99r/100，参看图 5，对应各齿承载结果如表 1 所示：
组合梁-弹簧模型建立过程中，考虑到齿根处的应力集中问题，将弹簧分为不均匀的 9 段，每段弹簧受到的力不同，由此可以得到齿根应力集中系数，即定义最靠近齿根的弹簧受到的平均应力与名义应力*的比值（*名义应力指弹簧模型所在的螺栓横截面的平均应力），根据编程计算结果可以得到，普通三角形螺纹不同型号螺栓的第一齿齿根应力集中系数，如表 4 所示。
2 有限元仿真计算
2.1 螺栓连接件有限元模型的建立
基于 ANSYS 仿真平台，建立螺栓连接模型，进行结构静力受载模拟分析。首先根据国家规定的标准普通三角形螺纹尺寸参数，分别采用 M6、M12、M18、M24、M30 五种螺栓的尺寸进行有限元建模。在忽略螺旋升角的情况下，螺栓连接可以看作是轴对称的，因此本文所用有限元模型也是轴对称模型。
以 M6 螺栓为例，得到轴对称有限元模型如图 6 所示，对称轴为 y 轴，左侧部分为螺栓，右侧为螺母。螺栓的大径为 6mm，螺纹的螺距为 1mm，螺母的外表面直径为 10mm，考虑五对螺纹啮合。螺栓和螺母采用相同的低碳钢。
材料弹性模量 E = ，泊松比 μ = 0.3。
2.2 模型网格划分
模型网格划分如图 7 所示，由于各齿的根部存在应力集中现象，需要对齿根部分的网格进行加密，另外，螺栓螺母接触部分的网格也应该加密；其他部位的网格较为稀疏即可[12]。本文有限元模型以 0.3m 网格为主，齿根处采用 0.1mm 网格，共产生 26280 个节点和 8408 个网格单元。
2.3 边界条件
设置螺母与被连接件的接触面为固定约束，螺栓拧紧力为 1000N 的均布拉载荷，螺栓和螺母各齿的接触面为摩擦接触，摩擦系数为 0.2[13]。
2.4 仿真结果与分析
应用上述模型计算得到应力云图（图 8）和位移云图（图 9），从图中可以看到，螺栓各齿受力分布不均且齿根处存在严重的应力集中现象，最大应力出现在第一齿的齿根处。
同理可以得到其他型号螺栓的有限元仿真结果，在螺栓螺母各齿的接触面上插入探针，得到五种型号的螺栓连接件各齿的承载分布（表 2）和齿根应力集中系数（表 4）：
3 结果对比与误差分析
螺栓连接中，第一齿承载最大，对螺栓使用寿命影响最大，所以第一齿承载的准确性最为重要，下面将理论计算结果与有限元仿真结果对比，如表 3 所示：
从表 3 中可以看出，组合梁-弹簧模型的理论计算结果相较于有限元仿真结果偏小，但相对误差都在11%以内，在工程应用的可接受范围之内。模型的简化处理方法是引起误差的主要因素，弹簧模型假设为离散状态，与实际状态下的连续变形状态有差别，但本文模型离散的处理方法有效的降低了计算的复杂程度。
计算得到梁-弹簧模型和有限元仿真下，螺栓第一齿齿根应力集中系数，如表 4 所示：
从表 4 中可以看出，基于组合梁-弹簧模型计算得到的齿根应力集中系数，与有限元仿真结果相比较小，首要原因还是离散弹簧的处理方式与实际连续受力变形状况的差别。同时，模型中的弹簧只能受到拉压载荷，而实际上齿根处的应力虽然以拉应力为主，但也会受剪受弯，应力状态较为复杂，因此，理论模型的简化也会产生一定误差，但误差的范围在工程可接受范围内。
4 结论
（1）本文根据螺栓连接件在使用过程中的受力变形状态，提出组合梁-弹簧简化模型，用梁的挠曲和弹簧的拉压变形来表征螺栓连接件力学特征，提供了一种新型的螺栓连接受力分析的简化方法。
（2）基于此简化模型，对其进行受力变形分析，根据力平衡条件、挠曲变形条件和接触（变形协调）条件，建立起模型受力变形分析的方程组，并编程计算求解，得到各齿承载分布和齿根应力集中系数。
（3）最后将螺栓简化为轴对称模型，对螺栓连接件进行有限元建模和计算，得到各齿承载分布和齿根应力集中系数。将理论模型与有限元模型的结果对比，二者在承载分布上具有较好的一致性，误差在工程可接受范围内；理论模型所给出的应力集中系数也具有一定的应用参考价值。
本文的研究结果说明组合梁-弹簧模型是一种合理有效的简化方法，为螺栓连接件的工程设计和强度校核提供了一种具有实用性的理论分析方法。
本公众号由北京艾法斯特科技发展有限公司运营，欢迎大家技术交流，有感兴趣的朋友可以添加下面的微信号，进入我们的讨论群：
本公众号由北京艾法斯特科技发展有限公司运营，欢迎大家技术交流，请添加上面微信二维码，或致电联系我们：
杜：
共同探讨螺栓预紧力测量的相关技术和市场信息，共同推进此产业的发展，实现共赢。北京艾法斯特公司（）专业从事超声、视觉螺栓预紧力测量技术，产品主要有螺栓预紧力测量仪系列产品、螺栓预紧力长期监测产品、智能紧固件、以螺栓轴力控制的智能紧固工具。
参考文献：
1 邢建伟,许彦昭,栾宇等. 两种典型螺栓连接结构的刚度特性比较研究[J]. 力学与实践,2016,38(1):27-32.XING ,XU LUAN Yu,et al. of the of two [J]. , 2016,38(1):27-32. (in )
2 林晓龙. 高强度螺栓的应力分析及结构疲劳强度优化[硕士论文]. 沈阳: 东北大学, 2012. LIN . of high bolt and [ ]. : , 2012 (in )
3 江国栋,张雪华. 高温螺栓失效研究[J]. 热加工工艺,2014,43(4):218-219+222.JIANG ,ZHANG . Study on of high bolt[J]. Hot . 2014,43(4): 218-219.(in )
4 石虹. 高强度螺栓失效若干因素的研究[硕士论文]. 辽宁:东北大学,2012. SHI Hong. of high bolt by [ ]. : ,2012. (in )
5 陈海平, 曾攀, 方刚等. 螺纹副承载的分布规律[J]. 机械工程学报, 2010, 46(9): 171-178. CHEN , ZENG pan, FANG Gang, et al. Load of joint[J]. of , 2010, 46(9): 171-178 (in )
6 , HONGO Kaoru. of Load in the Screw of a Bolt-Nut to and [J]. JSME . 1988,31(2):174-180.
7 D.G.. The of Load in Screw [J]. of the of ,1948,159(1):373-383.
8 陈加仁. 国外脆性涂料的发展及应用[J]. 今日科技, 1985(2):11-12.
9 GE , CHENG , HUANG , et al. mode and load of [J]. of , 2021, 55(13):1717-1732.
10 Jeong Kim, Joo-Cheol Yoon, Beom-Soo Kang, and of with [J]. ,2007,(31):895-911.
11 单辉祖. 材料力学[M]. 北京：高等教育出版社. 2004.
12 桂学文,张京东,廖日东. 螺栓预紧过程的有限元仿真研究[J]. 强度与环境,2021,48(6):9-16.GUI , ZHANG , LIAO . of bolt pre- [J]. & ,2021,48(6):9-16. (in )
13 贺宪桐,雷宏刚,闫亚杰. 基于不同螺纹形式的高强螺栓应力集中分析[J]. 土木工程, 2019, 8(2): 288-294. HE , LEI , YAN Yajie. of high bolts based on forms [J].Civil , 2019, 8 (2): 288-294 (in )
1、本站发布的内容部分购买于网络，仅供读者学习与参考，如有侵权，请联系站长进行删除处理。
2、本站一切资源不代表本站立场，不代表本站赞同其观点和对其真实性负责。
3、本站仅分享资源，以极低的价格降低大家被割韭菜的损失。本站无法保证资源质量，所以介意的小伙伴请勿下单！
4、资源大多存储在云盘，如发现链接失效，请联系站长第一时间更新。
