完全数有哪些-一课研究之赏析刘善娜 宋煜阳《整体呈现，建构概念》

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本期内容有哪些

听一听：华应龙《像农民种地那样教书》

读一读：赏刘善娜 宋煜阳《在核心问题上寻求突破》---因数与倍数教学实录与评析

想一想：稀少而有趣的完美数

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华应龙------《像农民种地那样教书》

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【教学内容】

人教版五年级下册第12页～14页。

教学过程：

一、课前谈话

师:今天，老师上课的内容和一个小朋友有关系。(课件出示一个在拼图形的男孩照片，旁注:我叫舒际乐)猜猜，他和刘老师会是什么关系?

生:母子关系。

师:你真厉害一猜一个准。具体地说，刘老师是舒际乐的一

生:妈妈!

师:能反过来说吗?

生:舒际乐是刘老师的儿子。

师:能正着说，还能反过来说。可见，关系是相互的。(课件出示:关系是相互的)刘老师是舒际乐的妈妈，那你是舒际乐的妈妈吗?

生:不是，我是舒际乐的姐姐。

师:是的，你显然不符合做舒际乐妈妈的条件。

(课件出示:关系是需要符合条件的)要称之为舒际乐的姐姐，需要符合什么条件?

生:女的，还要年纪稍微大一些。

师:说得真好。你们的弟弟舒际乐刚读一年级，刚认识了一些基本图形。这一天，他正在用12个大小完全一样的正方形拼摆长方形。我在一边看着，发现里面大有学问，我们一起去探究好吗?

评析:理解因数、倍教之间相互依存关系是该课的一大难点，教学中一般借助生活事例对“依存关系”含义进行点找、激发，但往往只停留在“相互”层面。而片段中教师在“相互”＂基融上涉入“要条件”心词的引导，促使学生巻入“依存关系”深入、全面的体悟，为因数、倍数之间关系作出充分的孕伏。同

时，巧妙借助小男孩拼摆小正方形的情境切入新课学习。

二，认识因数和倍数

师:舒际乐想把12个大小完全一样的正方形拼成长方形。你们做哥哥姐姐的，能教教他怎么拼摆吗?

师:都会教啊?提高要求，你能用一道乘法算式来介绍你的摆法吗?

生:3x4＝12。

师:他想怎么拼?

生:每行摆4个，摆3行。(根据学生回答，课件

出示长方形)

师:还可以怎么想?

生:每行摆3个，摆4行。

师:两种摆法的形状是一样的，我们记为一种。还有其他不同的乘法算式吗?

生:2x6＝12

师:一起说说，是怎样摆放的?

生:每行2个，摆6行，或者毎行6个，摆2行。

师:这两种形状一样，又记为一种。还有吗?

生:1×12＝12

师:大家用手勢演示一下摆法。戦，一行或一列。

师:还有吗?

师:12个小正方形拼摆成长方形只有三种摆法，这里面蕴藏着一种我们到现在都没有研究过的数学关系一因数和倍数关系。(板书:因数和倍数在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数，而且不包括0。(板书:只研究整数(不包括0)

看得懂吗?

生:就是只研究0以外的整数，不研究分数、小数。

师:是的，从图形拼摆中得到乘法算式里的数，都是整数。那以3x4＝12为例，你想，谁会是的因数，谁会是谁的倍数呢?

生:3和4是12的因数，12是3和4的倍数。

师:很好，你是把3和4合起来说，还可以分开说。(师板书概念)因为3x4＝12，所以3是12的因数;反过来，12是(3的倍数)，4是(12的因数)，12(是4的倍数)。这里还有两个式子:2x6＝12、1×12＝12，每个算式的三个数又有怎么样的关系，自己轻声说一说。(师指名反馈)

师:你能自己写一道乘法算式，并说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗?

生:能

学生写乘法算式，同互说后指名反惯。

师:这样的算式，关系写得完、说得完吗?那我们可以找谁帮忙，用一个式子把无数的式子都表示出来?

生:用字母，axb＝c

师:那么a、b、c可以是任何数吗?

生:不是，必须都是整数，且不包括0。

师:符合了这个条件，a、b、c之间就有了怎样的关系?

生:a和b是c的因数，c是a和b的倍数。

师:看来，同学们对因数和倍数关系已经有了一定的认识，一起来判断这组关系。

师课件出示:12是24的因数。

生:对。

师:那你能猜到他想的是什么算式吗?

生:他想的是12×2＝24。

师:根据这个算式我们还能得到什么信息?

生:24是12的倍数。

生:2是24的因数，24是2的倍数。

课件出示:0.9x2＝1.8，所以1.8是0.9的倍数，0.9是1.8的因数。

生:对。

生:错。

师:你为什么认为错呢?

生:因为0.9和1.8是小数，因数和倍数只研究0以外的整数，不研究小数。

师:是的，就是这个原因，这句话是错的。可是，刚オ为什么会有那么多同学认为是对的呢?能不能说说你是怎么想的?

生:因为1.8是0.9的2倍。

师:说得真好，1，8是0.9的2倍，是我们很早就认识的几倍关系，可以是小数，可以是整数，而我们今天学习的因数和倍数关系，只研究整数。

师:同学们，正是由于刚才一部分同学的错误，让我们回忆起了以前的几倍关系，知道了＂几倍”＂和倍数＂的不同，进一步清晰了因数和倍数关系的研究范围，这就是错误带来的思考。所以我们不必害怕错误，要善于从错误中汲取知识。

师课件出示:18是倍数。

生:错。他没有说清楚18是谁的倍数。

师:18会是谁的倍数呢?

生:3、6。

师:反过来，3和6都是18的因数，18的因数还有吗?

评析:对因教、倍数意义的理解是本课的重点和难点，教师借助12个小正方形摆长方形的直观树料，以教形结合的方式作出范例直言，揭示概念。学生在模仿描述基础上进行自己举例描述，在感知较为丰富的基础上进行对概念的概括。紧接着安排组判断练习用于反绩学生対概念内化程度，第一题判断强化了“教”“式”之间转换，为因数倍相互依存关系的理解和找因数方法进行渗透;第二题通过小数来法算式点击了学习重要疑难点一一“几倍”和倍数”概念的差异，增进研究范赙的意识;第三题一方面强调了存关系，另一方面借问＂18的因数还有吗?”自然接到找因敏的教学环节之中。这样通过“以例规例一抽象概括一内化反馈”路径帮助学生究成因教、倍数意义的理解。

三、找一个数的因数

师:那你能把18的所有因数都找出来吗?先自

己写一写。

生:我是从式子里找的。1x18＝18，所以1和18

是18的因数。2x9＝18，找到了2和9，还有3x6＝18，找到了3和6，一共有6个。

师:他是利用乘法式子一对一对来找的，又快又对。有没有发现其中的顺序?

生:先1和几，再2和几，再3和几。

师:先想1，通过乘式连带想到了18;想2，连带想到了9;想3，连带想到了6;想4，不可以:5呢?不可以;6，还要再想吗?

生:不用了，重复了。

师:还有别的方法吗?

生:我用除法。18除以1，得到18;除以2，又得到9:除以3，又得到6。

师:乘除法相通，用除法也可以找到一个数的医

数。看来大家都会找因数了。那请你用喜欢的方法

速写出35全部的因数。

生:1、35、5、7，只有4个。

师:再试一个，36

生:1、36、2、18、3、12、4、9.6、6。

师:两个6，只需要写一个。这些数的因数还可以用集合图表示。仔细观察这三个数的因数，你发现了什么?它们之间有什么共同持点?和同桌说说。

生:最小的因数是1，最大的因数是本身。

师:这么重大的发现，赶紧记下来。

生:一个数最小的因数是1，最大的因数是它

本身。

师:是不是其他的数也是这样呢75最小的因数是几?最大的因数是几250?500?看来一个自然数的因数都具有这样的特点。那么一个数的倍数呢?同学们会找一个数的倍数吗?

评析:有了前面“数”“式”之间的强化，学生主动运用式策略进行找因数，并对除法试除的方法进行点拔。结合＂18““35”“36”的因数相继完成集合图表示方法和一个教的因数特点的归纳。找一个数的因数及发现归纳其特点是学习重点却不是难点教师敢于放手，充分发挥学生自主性，快捷高效。

四、找一个数的倍数

师:你能找出多少个2的倍数?同桌说一说。

生:2、4、6、8、10…

师:2的倍数也可以用集合图表示，3的倍数呢

生:3、6、9

师:5的倍数。

生:5、10、15…

师:你们找得这么快，一定有自己的好方法，说出来，一起分享一下。

生:我是乘1、乘2、乘3这样找的。

生:我是加它本身，用加法找的。

师:都是好方法。大家仔细观察一下找出来的这些倍数，你发现了一个数的倍数有什么特点?

生:一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。

师:一个数的最小倍数是它本身，这句话是什么意思?你能举例吗?

生:10最小的倍数是10

师:那100最小的倍数是?1000呢?呢?

师:但它们都没有最大的倍数。一个数倍数的个

数是一？

生:无限的。

师:一个数倍数的个数是无限的，那么一个数因

数的个数呢?

生:是有限的。

师:如果用“有始有终”来形容一个数的因数的特点，你觉得”始”指的是什么?”终”呢?

生:“始”就是1，“终＂是这个数本身。

师:可以怎么形容一个数倍数的特点呢?

生:有始无终。

师:这个“始”是指什么?

生:这个数本身。

师:那你现在对于因数和倍数，有了哪些新的认识?

评析:找一个教的倍数、归纳发现找倍教的方法学生并不存在多大困难，而对“一个数最大因数和最小倍数都是它本身”的理解有着一定难度。教师加强了一个数因数、倍数特点的综合性联系比较，借助有始有终””有始无终”形象词汇中“始”“终”的具体指向，帮助学生明了“本身”的要义。

五、综合练习(略）

总评析：学生对因数倍数概念虽不陌生，但较为模糊、混乱，主要体现为:把因数、倍数割裂成孤立的运算(如因数存在于整、小数乘法运算中;倍数存在于整、小数除法中，商相当于倍数)把”倍数”和“倍”混为谈。为此，对“因数倍数意义和两者相互依存关系的认识与理解＂是本课一个教学重难点，将其具化为两个核心疑难问题:一是如何强化树立“非零自然数”的研究范畴意识;二是如何加深“因数倍数是一种关系而不是孤立运算中的某个数”本质认识。

本课教学中，这两个核心难点得到了有力突破对于第一个难点“因数倍数研究范畴”进行了分散教学:第一次在因数倍数概念揭示之前，板书出示研究范畴，并通过追问“看得懂吗?＂给学生形成一个初步的感知;第二次在概念抽象概括中，对＂axb＝c,三个数的范畴进行了讨论，再度感知;第三次在概念内化辦析中，对“0.9x2＝1.8”进行质疑，对研究范畴加以回顾。对于第二个难点“因数倍数是一种关系＂也进行了分层关注:课前谈话通过“母子关系”“姐弟关系”讨论使学生感知对象变了相应的关系也随之发生变化，为”依存关系＂认识进行铺垫;在“09x2＝1.8“判断中，组织＂猜一猜，为什么有同学认为是对的?”的追问，点明此倍数非被倍数进行澄清;在“18是倍数的判断中再次强调了相互依存关系。另外，在概念教学中，教师一直非常注重“关系＂和“乘式＂之间的切换性追问，如“12是24的因数让你想到了哪个式子?根据12x2＝24，你还能想到哪两个数之间的因数倍数关系?”，又如学生提到“18是3.6的倍数”马上反＂你想到了哪道乘法算式?＂，这些追问有助于增进学生“因数倍数关系”和“乘法算式＂之间的内联意识，强化“因倍数概念＂建立于“式＂的感知表象，从而加深依存关系的认识与理解。

数学故事---稀少而有趣的完美数

已知自然数a和b，如果b能够整除a，就说b是a的一个因数，也称为约数。显然，任何自然数a，总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。例如6，12，14这三个数的所有真因数：6: 1, 2, 3; 1 + 2 + 3 = 6

12: 1, 2, 3, 4, 6; 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

14: 1, 2, 7; 1 + 2 + 7 = 10 < 14

像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数(不足数);大于真因数之和的(如14)叫做盈数或过剩数;恰好相等的(如6)叫做完全数，也称为完美数。

古希腊人非常重视完全数。大约在公元100年，尼哥马修斯写了第一本专门研究数论的书《算术入门》，其中写道："也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已;所以盈数和亏数非常之多，而且紊乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章……，它们具有一致的特性;尾数都是6或8，而且永远是偶数。"

现在数学家已发现，完全数非常稀少，至今人们只发现29个，而且都是偶完全数。前5个分别是：6，28，496，8128，。完全数有许多有趣的性质。

例如1：它们都能写成连续自然数之和：

6=1+2+3,

28=1+2+3+4+5+6+7,

496=1+2+3+4+……+31,

8128=1+2+3+4+……+127;

2：它们的全部因数的倒数之和都是2。

1/1+1/2+1/3+1/6=2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2

1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2

你若盛开 蝴蝶自来

审核人：徐 宾 丁 裕

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