之前我们发过，但是有朋友看了表示有疑惑，问小编：为什么当是弧度()时，
但当是以度()为单位时，却是
能否给个令人心服口服的证明呢？
小编说：一般的高数书上应该有讲啊。
朋友追问：高数书上只证明了(1)式，而且挺复杂的，要用到那个极限的夹逼准则，不太直观，能否直观讲一讲？
经过思考之后，我给出了如下证明过程。
先来看弧度制下的情形。
如下图，设有长度为的弧，它的半径为1，按照弧度制，那么这段弧对圆心张开的角也为。若弧长增加，即沿逆时针方向从B延申到D，则角度也相应的增加。
根据函数的定义，图中标出的红色和绿色竖线的长度分别是和。
从B点作CD的垂线BE，则即为的增量，而弧即为的增量，故有当时，弧就是，上式即上式左边就是角的正弦值，也就是角的余弦，而与弧的张角相等，故上式左边等于，因此就得到这就得到了弧度制下的情形。
那么，若是度制，的导数为什么会多出一个因子？
为了清楚的说明这个问题，首先要解决的一个问题是：若角度分别用度与弧度表示，它们的函数表示该如何区分？
要知道，现在我们有两种不同的角度制，一个叫度，一般写作，例如还有一个角度制，叫弧度，它没有符号，就是普通的数，例如一般情况下，我们可以根据是否存在那个小圆圈来判定到底根据哪一种角度制的，从而确定其结果，这个中学都学过，没问题的。
作为三角函数,或是什么，函数符号对吗？如果是，那对于丢入的一个确定的数字，算出的结果应该是确定的，因为确定的函数符号代表一个确定的运算法则。例如的值等于多少，应该只取决于的值啊！
但现在问题来了，有两种度量方式，那会出现同一个值，有两种函数值？例如你会说，这没问题啊，前面是度，后面那个是弧度啊，不会导致胡乱啊！
问题是，当自变量符号是采用度制的时候，你难道也带上一个度的符号？你只是心里知道，但你不能写成，例如对度制的数的正弦，你只能记作。但这显然会造成混乱，因为一个自变量不可能对应多个函数值！
让弧度制优先用和这些符号，而度制的函数就谦让一下，另外再发明一个符号表示，例如用表示度的正弦，而用表示度的余弦。
好了，现在来看等于多少？
根据弧度与度的关系，所以根据熟悉的弧度制下的三角函数导数，我们都知道右边等于而根据弧度值与度制的关系所以有所以有如果你不想让弧度优先使用三角函数符号，而是想度与弧度平起平坐的使用三角函数的符号，那你只要将上面的换成，换成，你就得到了这就是角度采用度制时的情形。
但这样做，你一定不要将这里的和与前面推导过程中使用的那些和搞混了。弧度制的正弦，它的导数与弧度值的余弦是相等的，即
符号一样，关系却不同！但作为函数符号，它们的运算法则本应是相同的！这是造成有人感觉晕晕的原因！
实际上，如果不想晕，你只要依旧承认弧度制的优先地位，对度制的三角函数，发明一种新的符号，例如表示正弦，而类似的，表示余弦，那么上面那个式子就可以记为这样，就没有那种怪怪的违和感了！
讲到这里，我得意的回头看了看老A。
但老A却摸了摸脑袋说，他当然相信这些都是对的！但直觉上又觉得，既然弧度和度是角度的两种平等的单位制，那么仅仅变换单位制，怎么会影响自身的规律的形式呢？
听到他这么说，我哑然失笑：这厮学物理学傻了。
他大概率将数学公式与物理规律一样对待了！
果不其然，他反手就举了牛顿方程的例子他问我：对动量用不同的单位，这个公式不还是这样吗？
我说，虽然你眼里看到的是物理公式，但你心里想的是物理规律，既然你相信物理规律不变，所以你自然觉得它总是一样的。
但实际上，你看到的是物理公式，它与物理规律是两码事。物理公式本质上就是数学公式。
当你采用不一样的单位制时，物理量之间的数值关系也一样变了！所以，不同的单位制下，物理规律不会变，但物理公式肯定会变。
例如，采用国际单位制时，库仑定律是这里的取值为Nm²/c²。但当你选用不同的电荷单位时，值不就变了吗？
另一个例子是法拉第电磁感应定律，正是因为采用国际单位制，它才有如下简单的形式否则，这里也会多出一个不等于1的系数，变成这里的系数是多少，取决于你采用的单位制是什么。
单位制的选择不光会影响物理公式的比例，甚至还会在原有的物理公式中加上或减去一个东东。例如采用摄氏度作为温度的单位时，理想气体的压强和温度的关系为式中的为无限稀薄的气体在0摄氏度时的压强。
当采用开尔文作为温度单位，即定义后，则上述关系式变为
再举个例子，光速不变是狭义相对论的一条基本规律，但光速到底等于多少，这是人为定义的。当我们选择国际单位制时，它的值为.458km/s，当采用不同的单位时，它的值当然就不是这么多了！
所以说嘛，单位制的改变，当然会改变物理公式的样子！但是，物理规律是不会变的，因为它是客观的嘛。
听我这么一讲，老A似乎有点明白了。但他还是有点不甘心，他说，弧度和度是地位相当的两种角度单位，为什么一个导致如此简单的关系，另一个却变得复杂呢？
那么，弧度和度真的地位相当的吗？
当然不是！
从它们与长度的关系可以看出差别。
如下图，半径长为1的一段弧，假设它对应的角度记为，现在来分别看弧度与度的情况下，有什么不同。
当为弧度时，它的大小更好等于弧长与半径的比值——这就是弧度的定义嘛！因此上图中的弧长BC就等于。
而当角度值的单位为度时，必须将它换成弧度才能得到弧长，因此弧长BC为。
看到了吧，你可以认为弧度和度相当，但从它们与弧长的关系上可以看出，弧度数值本身就是弧长，而度的数值需要经过换算后才得到弧长。
有人可能会说，干嘛要让度来迁就弧长？让弧长来迁就度不行吗？就将弧长记录为半径与角度的乘积，不同的角度单位得到不同的数值的弧长！换句话说，重新定义一个弧长的单位叫做“米度”。
看起来挺不错，这样从半径到弧长，与弧度制一样，不再需要换算的系数了！
例如，一个半径为1米，对应角度为45度的弧长，就记作为
很显然，半径为45米，对应角度为1度的弧长也是这么大，看起来没什么问题，因为事实上，它们的弧长的确是一样的。
但现实中，我们时刻需要比较和度量各种曲线和直线的长度，它们既然都是长度，必定都属于同一种物理量描述的东西，具有确定的量纲。
什么叫量纲？
简单的说，就是物理量的单位的共性。
用来度量同一个物理量的不同单位，具有同样的量纲，为了方便，这个量纲就用物理量符号加中括号表示。
例如公斤、克和磅都是质量单位，因此它们的量纲是质量，记作；秒，日和年都是时间单位，它们的量纲是时间，记作；而米，公里和光年则具有同样的量纲——长度，记作。
量纲之间可以通过乘除得到新的量纲。例如，根据牛顿第二定律，可以得力的量纲为物理上同属一种物理量描述的东西，必然具有同样的量纲！只有量纲相同的量才可以进行加减运算——废话，单位相同的才可以加减嘛！而单位相同，则量纲必然相同。
有一种特殊的量，它的值是没有量纲的纯数字，我们称之为无量纲量，也可以说它的量纲为1。
因此，按照量纲规则，上述定义的弧长的量纲既然是长度乘以角度，如果角度的量纲不为1，那所得的弧长必然就不再具有长度量纲了！
这导致一个奇怪的问题：既然你采用了另一个不同于长度量纲的物理量来度量弧长，那说明弧长与半径的长度是不同的东西！
这是一件不可思议的事情，就好比你把一根直铁丝完成弧形，它的长度变成另一个东西了！
在采用度制时，它的数值和量纲都变了！
在采用弧度制时，虽然弧长的数值符合经验要求——直铁丝完成弧形后，弧长数值保持与之前直线的长度数值相等。但问题是，既然弧长等于半径乘以弧度，那么弧长的量纲也是长度乘以角度，仍然不具有长度量纲！
换句话说，弧度与度一样，都会导致弧长变成与长度不一样的东西啊！
但直觉告诉我们，一根直铁丝弯成弧形，它的长度应该是不变的啊！
那怎么办呢？
你可能也发现了，将角度视为无量纲量就行了！这样，弧长和半径就具有同样的量纲——长度！
正如前面提到的那个例子，你手握一根直铁丝，弯成弧形，无论它的半径是多少，可以肯定相比之前的直线，弧的长度没变啊！这个直觉告诉我们，直线和弧的长度是同一个东西，量纲必然相同嘛！
所以，角度是一个无量纲的量，或者也可以说，它的量纲为1。
必须要强调的是，量纲是物理量的基本属性，描述的对象是物理量。所以，角度无量纲，决定了它的单位也就是无量纲单位。
很多人以为，度不像弧度那样是纯数，所以度应该有量纲。这种理解是错误的！度和弧度一样，是角度这个无量纲的物理量的不同单位制。
不过，将角度定义为无量纲量之后，对度来说，前面提到的重新定义的弧长的数值比实际大，这不符合人们的直觉。而对于弧度来说，它与半径的乘积不仅具有长度量纲，而且刚好就是弧长的真实大小，正好符合我们的直觉——想想前面提到的那个把直铁丝弯成圆弧的事情。
例如，若角度是弧度制的，则从半径和角度计算弧长按如下方式
而对角度为度的情况，应先将度换算成弧度，再根据上式计算，因此计算公式为
可见，将角度定义为无量纲的量后，弧度制下，计算不需要额外转换，多出一个因子。
所以，弧度制优于度制！
另外，再拓展一下。
弧度表示的角度不局限于平面角，也适用于立体角。如下图所示，球面上的一部分面积相对球心张开的角度就是立体角。
立体角的弧度制定义为面积与对应半径的平方的比，即如果考虑整个球面，显然立体角为。由此定义可知，分子分母都具有面积量纲，量纲相除之后等于1，所以立体角也是一个无量纲量。
实际上，你还可以将角度推广到更高维的情形，只不过它总是等于两个同样幂次的长度量纲相除，量纲相除的结果总是1，所以它总是无量纲的。
END
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