第二学段
在第二学段（4——6年级）中，随着学生年龄的增长以及利用数学思想解决实际问题的机会的增多，学生会逐渐发现隐藏着问题中的数学思想，逐渐领悟解决某类问题的数学方法。随着学习的深入，学生会慢慢总结出解决问题的思想和方法。那么我们就应该引领学生在一定的高度上深入探究这些思想和方法，教会学生利用这些思想和方法解决实际问题。
案例一
质数、合数
知识回顾
谈话：我们通过学习，知道了什么是质数，什么是合数，谁能来说一下你对这两个概念的理解？
生1：质数只有两个因数，合数最少有三个因数。
生2：质数的两个因数分别是1和它本身，合数除了1和它本身以为，还有其他的因数。
师：嗯，说的太好了。
拓展练习
师：请看自主练习第3题。
在自然数11——20中，质数有（ ），合数有（ ），既是奇数又是合数的有（ ）。
生根据经验独立解决
师提示：同学们找到的11——20以内的质数（11、13、17、19）和合数（12、14、15、16、18、20）本身就是两个集合，这两个集合没有交集，这是由于质数、合数自身的性质所决定的，而奇数（11、13、15、17、19）和合数就有交集（15）了。
鼓励学生用维恩图的方式画出来
案例分析
随着学习的深入，学生已经积累了一定的分析问题和解决问题的经验，只是还没有在头脑中形成一定的思想和方法。因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数以及五年级的最大公因数、最小公倍数的学习过程应该重点向学生渗透集合思想。因为这几个知识点既相互独立，又有联系，尤其是将几个知识点揉在一起来考察的时候，学生很容易混淆概念。尤其是交集的渗透，学生在做此类问题的时候经常犯错。学生可以先利用列举法分别找到符合要求的数据，再在维恩图中填写，加深对交集的认识。总之，借助集合的思想来研究此类问题，可以更加直观有效。
案例二
三角形的分类
学习三角形这个知识点的过程中，对于三角形的认识比较零散，这个时候就有必要将三角形进行分类，为了使分类更加清晰，更加直观，利用维恩图的形式就比较明显了。
教学片段：
谈话：通过对三角形的学习，你都知道了有什么三角形？
生：等腰三角形，锐角三角形，直角三角形，等边三角形，钝角三角形，等腰直角三角形……
师：既然它们都属于三角形，那么它们之间肯定有很多联系和区别。下面就请同学们根据你对三角形的认识来对它们进行分类。
要想对一类研究对象进行分类，首先应该明确什么？
生：分类的标准。
师：那么我们应该按照什么标准来对三角形进行分类呢？
生：组成三角形的三要素是顶点、角和边，顶点没有什么好研究的，角有大有小，边有长有短，所以可以根据角和边来对三角形进行分类。
学生分小组讨论、交流。
根据三角形角的特点和边的特点将三角形分类：按角分——锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分——任意三角形、等腰三角形和等边三角形。
师追问：为了更加清晰、更加简洁的能够看出分好类的三角形之间的联系和区别，我们可以怎么办？
生：可以借助集合图。
引导学生自主画维恩图。
深入探究：
师：在这两个集合图上你可以看出哪些信息？
生1：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都属于三角形这个大集合。
生2：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这三个元素是相互独立的元素，互相之间没有交集。
生3：等腰三角形和等边三角形都属于任意三角形，而且等边三角形又属于等腰三角形这个集合。
师小结：同学们说的太好了，我们借助集合图的形式将三角形分成了不同的两类，便于我们对三角形的了解和区分。
案例分析
其实无论是三角形的分类、四边形的分类还是借助集合思想探究因数、倍数，质数、合数等等，都是在教学中渗透集合的思想。到了第二学段，教师在教学中应该逐渐引导学生将集合的思想提升为方法，教学时让学生多观察，多思考，及时总结经验和方法，巩固练习也要有一定的针对性。
在教学中也应该注意对不同集合类型的区分，比如第二学段第1个案例，研究的是元素与集合之间的关系，四边形和三角形的分类研究的是集合之间的关系。当然集合之间的关系，不仅仅局限在几何与图形这样的领域里，还可以在数与代数领域中用到。比如整除与除尽之间的关系，取近似值的方法之间的关系等等。
再比如自然数的分类，如下图。都可以利用集合的思想，使概念变得更加清晰。
案例三
解决问题
问题：2012年伦敦奥运会期间，班长芊芊在一次调查中发现全班有 的同学喜欢王皓，有 的同学喜欢菲尔普斯，既不喜欢王皓，又不喜欢菲尔普斯的占全班同学的 ，既喜欢王皓，又喜欢菲尔普斯的同学占全班的几分之几？
分析：如果采用一般的思路去分析这个分数的题目，很多学生会搞的一头雾水，毫无头绪。如果借助集合图来帮助分析，情况就不一样了，各种量之间的关系可以很清晰的整理出来。
师：对于这样的各种量比较混乱，相互交杂的问题，理清各种量之间的关系很重要，我们不妨再次借助维恩图来帮助我们分析。
引导学生画维恩图，分析问题中的数量关系。
分析维恩图：
师：长方形代表一个大集合，表示什么？
生：全班人数，也就是单位“1”。
师：在这个图示中你还能读出哪些信息？
生：喜欢王皓和喜欢菲尔普斯的两个集合有一个交集，也就是要求的问题。
生：既不喜欢王皓，又不喜欢菲尔普斯的同学和既喜欢王皓，又喜欢菲尔普斯的同学没有交集。
师：那么用总人数减去是不是就等于呢？
生计算验证后发现如果将既喜欢王皓，又喜欢菲尔普斯的同学的人数相加，那么交集部分就是计算了两次。
最终得到数量关系：
① 既喜欢王皓，又喜欢菲尔普斯的同学的人数＝喜欢王皓的人数＋喜欢菲尔普斯的人数＋既不喜欢王皓，又不喜欢菲尔普斯的人数－总人数
② 既喜欢王皓，又喜欢菲尔普斯的同学的人数＝喜欢王皓的人数＋喜欢菲尔普斯的人数－（总人数－既不喜欢王皓，又不喜欢菲尔普斯的人数）。
案例分析
通过这个案例我们可以看出利用集合的思想可以开拓我们的解题思路，使复杂的数量关系变得简单。
像这种类似的问题一般在数学竞赛中或者思考题中出现的比较多。这个题还有一个难点就是不是整数的，而是分率的形式出现的，还隐含了单位“1”这个大集合，更加加大了解题的难度。
因此，在小学数学教学中逐步渗透集合思想，并提升为方法是很有必要的，教会学生思考比单纯的只教知识好的多。在教学中应该加强对集合思想的启发，提高学生的整体数学素养。
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