美妙数学天天见，每天进步多一点。亲爱的同学，你好！我是一课研究团队的翁秀萍老师，今天与你分享的内容是：一个面绕着一条直线旋转会出现什么图形呢？
美美：天天，又见面了。我们先来回忆一下昨天的内容吧。
天天：美美，好的。昨天我们讨论了“如果一条线段绕着一条直线旋转可能出现的情况”，可以用下面这张图来说明。
美美：不错不错。今天我们继续研究“如果一个面绕着一条直线旋转可能出现的情况”吧。
天天：这个有点复杂，我们先考虑这个面可能是什么图形，再考虑它与直线l的位置关系。
美美：这个面的形状有很多，我们先研究长方形，直角三角形这两种情况吧。
天天：好的，它与直线l的位置关系可以是重合的，也可以是不重合的。如图所示。
美美：我们先看长方形，当它的某一条边与直线l重合时，它绕着直线l旋转会形成什么图形？
天天：当长方形的某一条边与直线l重合，它绕着直线l旋转360°会形成一个圆柱体。
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美美：如果它的长和宽分别是4厘米和3厘米，你能求出形成的这个圆柱体的表面积和体积吗？
天天：我们分两种情况讨论，长方形的长边或者宽边与直线l重合。先在图上标上相应的数据，再根据相应的公式可以求出来的。
美美：是的，如果长方形的长边与直线l重合，它绕着直线l旋转360°形成的圆柱体是这样的：长方形的长边相当于圆柱体的高h=4厘米，长方形的宽边相当于圆柱体的底面半径r=3厘米。
天天：根据公式，圆柱体的表面积S=2πr^2＋2πrh=2π×3^2＋2π×3×4=42π（cm^2），圆柱体的体积V=πr^2 h=π×3^2×4=36π（cm^3）。
美美：嗯嗯，如果如果长方形的宽边与直线l重合，又是怎样的呢？
天天：如果长方形的宽边与直线l重合，它绕着直线l旋转360°形成的圆柱体是这样的：长方形的宽边相当于圆柱体的高h=3厘米，长方形的长边相当于圆柱体的底面半径r=4厘米。根据公式，圆柱体的表面积S=2πr^2＋2πrh=2π×4^2＋2π×4×3=56π（cm^2），圆柱体的体积V=πr^2 h=π×4^2×3=48π（cm^3）。
老爷爷：你们两个分析得很对，赞一个！
美美：天天，我们再来看三角形，当它的某一条边与直线l重合时，它绕着直线l旋转会形成什么图形？
天天：当三角形的某一条直角边与直线l重合，它绕着直线l旋转360°会形成一个圆锥体。
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美美：如果三角形的三条边分别是是4厘米、3厘米和5厘米，你能求出形成的这个圆锥体的体积吗？
天天：我们先考虑三角形的直角边与直线l重合。如果三角形中4厘米的直角边与直线l重合，它绕着直线l旋转360°形成的圆锥体是这样的：这条重合的直角边相当于圆锥体的高h=4厘米，另一条直角边相当于圆锥体的底面半径r=3厘米。根据公式，圆锥体的体积V=πr^2 h=π×3^2×4=12π（cm^3）。
美美：是的，如果三角形中3厘米的直角边与直线l重合，它绕着直线l旋转360°形成的圆锥体是这样的：这条重合的直角边相当于圆锥体的高h=3厘米，另一条直角边相当于圆锥体的底面半径r=4厘米。根据公式，圆锥体的体积V=πr^2 h=π×4^2×3=16π（cm^3）。
老爷爷：嗯，很会动脑筋。那么，如果三角形斜边与直线l重合，它绕着直线l旋转360°会形成什么图形呢？
美美：我们可以找到三角形中的一个点来思考：比如点B。从点B向直线l引一条垂线，与直线l的交点是O，三角形ABC绕着AC所在的直线l旋转，点B会形成一个圆。可以想象，整个三角形旋转360°会形成上下两个圆锥体，都以这个圆为底。天天，你能求出这个圆的半径吗？
天天：线段OB是底面半径，也是AC边上的高，我们可以求出它的长度。以三角形面积为等量，5×OB÷2=3×4÷2，OB=2.4（cm）。
美美：那这个立体图形的体积是多少呢？
天天：这个立体图形的体积等于两个圆锥体的体积之和，假设上面这个圆锥体的高为h1，下面这个圆锥体的高为h2，那么总体积V=πr^2 h1＋πr^2 h2=π×2.4^2 ×h1＋π×2.4^2× h2=π×2.4^2 ×（h1＋ h2）=π×2.4^2 ×5=9.6π（cm^3）
美美：哇，不错不错。今天我们讨论了这么多，那么当长方形、三角形与直线l不重合（如图所示），它绕着直线l旋转360°又会形成什么图形呢？感兴趣的话你可以接着研究哦。
美妙数学天天见，每天进步多一点。亲爱的同学，今天的话题我们就讲到这里，咱们明天再见。
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